巨大数をつくろう

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最初の巨大数を作りたいと思います。

コンセプトは、「矢印表記みたいな感じのやつ」です。

矢印表記について

　矢印表記について簡単に説明します。詳しい計算規則や計算例などはここを見ると分かりやすいかもしれないです。

　数字同士には冪算という計算方法があります(aᵇ=a×a×...a[b個のa])。学校の数学の授業でみたことのある人が多いかもしれません。なので慣れてしまっている人ばかりかもしれませんが、よく考えてみると、掛け算は a×b=a+a+...a[b個のa] だったのに冪乗になったとたんにaᵇと書くことになるのはなんとなく不自然です。bが急に小さくなっちゃっています。ここでもし、aᵇを掛け算みたいにaとbの間に記号をはさんで書くことにしたらどうなるのでしょうか。挟む記号は「↑」にしてみます。つまり、aᵇをa↑bと書き直すことにするのです。すると、

となります。冪算という計算方法は a↑b=a×a×...a[b個のa] と書き表せると分かりました。このように書くと、a↑a↑...a[b個のa]みたいなものを考えたくなってきます。それではそのようなものを a↑↑b=a↑a↑...a[b個のa] って書いてしまいましょう。同じようにa↑↑↑b , a↑↑↑↑b , ... と続けていったものが矢印表記です。

　ここで注意しなければいけないことが一つあります。それは、「掛け算までは右から計算しても左から計算しても同じ答えになるけど、冪乗とその先の矢印二つ以上のやつではそうならない」ということです。なので矢印表記では必ず右から順番に計算することがルールになっています。

作った巨大数

　関数には反復合成冪っていうやつがあります(fᵇ(a)=f(f(...f(a)...))[b重のf()])。学校で習ったことがある人はあまり多くないかもしれません。例えばf(x)=x+1っていう関数があったとします。xの所にaを入れると、f(a)=a+1なのでf(a)はa+1という数になります。じゃあxの所にf(a)を入れてみたらどうなるでしょうか。f(a)はa+1でした。なので

となります。f(f(a))はa+2という数でした。このように、f()をいくつ重ねても、重ねたものは一つの数になることが分かります。

　ここで一つ不満が生まれます。bが斜め上にちっちゃくなっていることです。上に挙げた矢印表記のように、反復合成冪も書き直してしまいましょう。私は、このように書き直してみました。

　ここまで書いてしまえばあとは矢印を増やすだけです。数学の道具を使うと、

このように書くことができます。名前は関数矢印表記と呼ぶことにします。この表記も右から計算する決まりです。それでは具体的な計算を行っていきましょう。

計算

　大まかな計算を載せておきました。矢印が3本までならギリギリ冪算と足し算を組み合わせたり総和という方法を使ったりして書き表すことができますが、4本以上になると複雑すぎてそういう書き方ができなくなります。もし興味のある方がいらっしゃれば、f(n)◦↑³mの計算あたりをやってみてほしいです。その後どのように大変になっていくのかが分かります。

ここまで読んでくれてありがとうございます。

次はもっと大きな数を考えたいです。コンセプトは「矢印を縦に割る」けど「やっぱり普通の矢印」です。動きはできていますが、文字で書くのがむずかしいです。

さようなら！また次回お会いいたしましょうっっ

[追記(2021/06/10)]

計算例にすこしミスがありましたので直しました。